Aufzinsen und Abzinsen einfach erklärt (mit Rechenbeispiel)

Sobald du dich mit dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung beschäftigst (z. B. Kapitalwert oder Annuitäten), wirst du zwangsläufig aufs Abzinsen und Aufzinsen stoßen. Sie sind die zentralen Instrumente, wenn du dich mit Zahlungen beschäftigst, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen. Sie bilden die Basis für viele andere Rechenmethoden.

Und das Beste: Aufzinsen und Abzinsen ist im Grunde gar nicht so kompliziert, es wirkt im ersten Moment nur verwirrend. Mit ein bisschen Übung wirst du die Rechnung im Schlaf anwenden können.

Wozu braucht man das Aufzinsen und Abzinsen?

Lass uns dazu ein kleines Beispiel anschauen: Stell dir vor, dein Chef bietet dir für deine gute Arbeit eine Bonuszahlung an. Entweder erhältst du heute 5000 Euro oder in drei Jahren 6000 Euro. Wie entscheidest du dich?

Bei deiner Überlegung sollen individuelle Argumente nicht zählen (etwa „Ich brauche dringend neue Möbel, also nehme ich jetzt 5000 Euro.“ oder „Ich bin sehr geduldig und nehme lieber die 6000 Euro.“).

Du willst rein ökonomisch wissen: Welche Variante ist mehr wert?

Die 6000 Euro sind zwar die höhere Zahl, dafür musst du noch lange darauf warten. Die 5000 Euro könntest du hingegen sofort nutzen und investieren, sodass du drei Jahre lang Zinsen und Zinseszinsen kassierst. Hast du auf diesem Weg in drei Jahren sogar mehr als 6000 Euro?

Für exakt diese Situationen kannst du die Aufzinsung bzw. Abzinsung nutzen. Sie helfen dir dabei, den Wert eines Geldbetrags auf einen anderen Zeitpunkt zu übertragen. Mit anderen Worten:

Was ist ein Geldbetrag ein, zwei, drei… Jahre früher wert? (Abzinsung)

Was ist ein Geldbetrag ein, zwei, drei… Jahre später wert? (Aufzinsung)

In unserem Beispiel könntest du also berechnen, was die 6000 Euro, die du in drei Jahren bekommst, heute wert sind. Diese Summe könntest du dann problemlos mit den 5000 Euro vergleichen. Dann nutzt du die Abzinsung.

Umgekehrt könntest du die 5000 Euro auf den Zeitpunkt „in drei Jahren“ umrechnen, um sie mit den 6000 Euro zu vergleichen. Dann wäre das Aufzinsung.

Wie berechnet man eine Aufzinsung?

Genug Theorie, lass uns rechnen. Wir wollen wissen, was die 5000 Euro in drei Jahren wert sind. Dazu wird immer davon ausgegangen, dass das Geld investiert werden kann und jedes Jahr Zinsen und Zinseszinsen anfallen. Der Betrag wird also schrittweise größer.

Wie hoch der Zinssatz ist, ergibt sich in der Praxis aus verschiedenen Faktoren, z.B. dem aktuellen Leitzins oder der Marktsituation. In den Prüfungsaufgaben der IHK (z.B. beim Wirtschaftsfachwirt) ist der Wert immer vorgegeben. Er wird als Kalkulationszinssatz bezeichnet.

Lass uns für das Beispiel einen Zinssatz von 6 Prozent annehmen. Mit dieser Information können wir aufzinsen. Dazu verwendet man folgende Grundformel:

\(\text{Aufgezinster Wert} = \text{Ursprungswert} \cdot \text{Aufzinsungsfaktor}\)

Der Aufzinsungsfaktor berechnet sich wiederum mit dieser zweiten Formel:

\(\text{Aufzinsungsfaktor} = (1 + i)^n = q^n\)

Was bedeuten die einzelnen Buchstaben? Klein i bezeichnet den Kalkulationszinssatz (in unserem Fall 6 Prozent) und q steht für „1 + Kalkulationszinssatz“. Es dient also nur dazu, die Formel etwas zu verkürzen. Das klein n wiederum steht für die Anzahl der Jahre, um die der ursprüngliche Geldbetrag aufgezinst werden soll.

Statt Jahren können auch andere Zeiteinheiten genommen werden (z.B. Monate oder Quartale), das wäre aber eher ungewöhnlich.

Konkretes Rechenbeispiel zur Aufzinsung

So kannst du Schritt für Schritt eine Betrag aufzinsen:

Schritt 1: Aufzinsungsfaktor ermitteln

Wir haben einen Zinssatz von 6 Prozent bzw. 0,06 vorgeben. Außerdem setzen wir n = 3, da die 5000 Euro um 3 Jahre aufgezinst werden sollen. Wir wollen schließlich den Zeitpunkt erreichen, in dem du alternativ 6000 Euro vom Chef bekommen würdest.

Diese beiden Zahlen setzen wir in die Formel für den Aufzinsungsfaktor ein:

\(\text{Aufzinsungsfaktor} = (1 + i)^n = (1 + 0,06)^3 = 1,191016\)

Kleiner Bonustipp

Schau mal in die IHK-Formelsammlung. Dort findest du eine Tabelle, in der viele Aufzinsungsfaktoren schon vorgegeben sind. Du musst nur den richtigen Zinssatz und die Anzahl der Jahre heraussuchen und den Aufzinsungsfaktor ablesen. So sparst du dir etwas Rechnerei.

Schritt 2: Aufgezinsten Wert berechnen

Nun kannst du problemlos die Formel für den aufgezinsten Wert anwenden:

\( \text{Aufgezinster Wert} = 5000 \text{ €} \cdot 1,191016 = 5955,08 \text{ €} \)

Was sagt dir dieses Ergebnis? Bei einem Kalkulationszinssatz von 6 % sind 5000 Euro in drei Jahren schon 5955,08 Euro wert.

Ganz praktisch gesprochen: Du legst deine 5000 Euro heute zu 6 % an und bekommst immer am Ende des Jahres deine Zinsen ausgezahlt. Diese ausgezahlten Zinsen behältst du auf dem Konto, damit sie auch Zinsen abwerfen (Zinseszins) und so weiter. Am Ende des dritten Jahres beträgt dein Kontostand 5955,08 Euro. So entwickelt sich das Geld im Laufe der Jahre:

Zeitpunkt0123
Kontostand5000530056185955,08

Das ist zwar deutlich mehr als zu Beginn, aber immer noch etwas weniger als 6000 Euro, sodass die 6000 Euro die bessere Alternative sind.

Wie funktioniert die Abzinsung?

Dieses Ergebnis können wir nun überprüfen, indem wir die Rechnung andersherum durchführen. Wir zinsen nicht mehr die 5000 Euro auf, sondern jetzt werden die 6000 Euro aus dem Jahr 3 auf den heutigen Zeitpunkt (Jahr 0) abgezinst.

Das Grundprinzip ist identisch. Jetzt gehen wir aber davon aus, dass dir Zinsen entgehen, da du das Geld erst in drei Jahren bekommst. Daher sind 6000 Euro in drei Jahren heute weniger wert als 6000 Euro, die du sofort bekommen würdest.

Um die 6000 Euro auf den heutigen Tag umzurechnen, brauchen wir wieder den Kalkulationszinssatz in Höhe von 6 Prozent. Hinzu kommen sehr ähnliche Formeln:

\( \text{Abgezinster Wert} = \text{Ursprungswert} \cdot \text{Abzinsungsfaktor} \)

sowie

\( \text{Abzinsungsfaktor} = \frac{1}{(1 + i)^n} = \frac{1}{q^n}\)

Im Prinzip wird die Aufzinsung einfach umgedreht und schon ergibt sich die Abzinsung. Deshalb können wir direkt unsere Zahlen einsetzen und die Rechnung durchführen.

Rechenbeispiel zur Abzinsung

Schritt 1: Abzinsungsfaktor ermitteln

Unser Kalkulationszinssatz bleibt bei 6 % = 0,06. Auch die Jahreszahl ist identisch (n = 3). Diesmal „starten“ wir in Jahr 3 und wollen auf den heutigen Tag, also Jahr 0, abzinsen. Das ergibt:

\( \text{Abzinsungsfaktor} = \frac{1}{(1 + 0,06)^3} = 0,839619\)

Kleiner Bonustipp

Auch hier lohnt sich ein Blick in die Formelsammlung. Viele Abzinsungsfaktor lassen sich ablesen und ersparen dir die Rechnerei. Allerdings ist die Rechnung mit ein bisschen Übung relativ schnell zu erledigen.

Schritt 2: Abgezinsten Wert berechnen

Nun kommt die zweite Formel ins Spiel, mit der du den abgezinsten Wert ausrechnen kannst:

\( \text{Abgezinster Wert} = 6000 \cdot 0,839619 = 5037,71 \text{ €} \)

Das Ergebnis: 6000 Euro, die du in drei Jahren bekommst, sind bei einem Kalkulationszinssatz von 6 Prozent heute nur 5037,71 Euro wert. Schrittweise gerechnet ergibt sich diese Übersicht:

Zeitpunkt3210
Kontostand60005660,385339,985037,71

Mit anderen Worten: Wenn du heute exakt 5037,71 Euro bekommst und sie zu 6 Prozent anlegst, hast du in drei Jahren 6000 Euro. Nochmal anders ausgedrückt: Wenn du 5037,71 Euro auf drei Jahre aufzinst, ergeben sich genau 6000 Euro (mit minimaler Rundungsdifferenz). Rechne das gerne als kleine Probe!

Die Zahlen bringen genau die gleiche Empfehlung wie unsere Abzinsung. Nimm lieber die 6000 Euro in drei Jahren, die sind mehr wert als 5000 Euro, die du heute bekommst.

Hast Du noch Fragen?

Nutze gerne die Kommentare, um Unklarheiten zu beseitigen.

13 Kommentare

  1. Siggi

    Hallo Torben,

    klasse – endlich verstanden!
    Aber eine Frage konnte ich noch nicht beantworten…

    Annahme: Ich bekomme in einem Jahr 1000 EUR. Der Zinssatz ist 10%.

    Wenn ich von 1000 EUR 10% abziehe, komme ich zu 900 EUR
    Wenn ich aber die 1000 EUR abdiskontiere (1000/1,1) komme ich zu 909 EUR.

    Woran liegt das?

    Danke
    Siggi

    Antworten
    • Torben

      Hallo Siggi,

      das liegt daran, dass du mit den Rechnungen zwei verschiedene Fragen beantwortest. Wenn du 10 % abziehst, hast du “nur” berechnet, was 10 % von 1000 Euro sind bzw. 90 % von 1000 €, die übrig bleiben. Bei dieser Rechnung spielt die Zeit noch gar keine Rolle.
      Wenn du 1000 Euro um ein Jahr abzinst (Zinssatz: 10%), dann ist die Frage: Was sind 1000 € ein Jahr früher wert? Oder: Wie viel Geld benötige ich, um nach einem Jahr Geldanlage 1000 € zu erhalten? Dann ist die Antwort: 909 €.
      Rein mathematisch gesehen: Im ersten Fall rechnest du 10% von 1000 €, dann setzt du quasi die 1000 € = 100 %. Im zweiten Fall sind die 1000 € aber gleich 110 % zu setzen.

      Ich hoffe, das hilft dir weiter.
      Viele Grüße
      Torben

      Antworten
  2. Sandro Schneider

    Eine Frage hätte ich noch;

    In einer andren Erklärung, steht in der Formel zur Abzinsung statt einem positiven Exponenten, ein Negativer. Sind beide richtig? Kannst du erläutern?

    Antworten
    • Torben

      Ja, grundsätzlich sind beide Varianten (positiver und negativer Exponent) möglich. Allerdings musst du dabei folgendes beachten: Wenn du einen positiven Exponenten nutzt, benötigst du für die Abzinsung 1 / q^n. Wenn du einen negativen Exponenten nutzt, lautet die Formel q^-n. Mathematisch sind beide Formeln identisch.

      Antworten
    • Angelika Schuhmann

      Eine super gute Erklärung! Endlich habe ich es verstanden. Vielen lieben Dank!!

      Antworten
  3. Sandro Schneider

    Guten Abend vielen Dank für deine erklärung
    ich verstehe eines nicht. Jede Variable (Zahl oder Buchstabe) die wir in die Formel einsetzen hat ja einen Gegebenen Wert-z.B i = Prozensatz, oder n =Jahre
    was ich nicht verstehe, was bewirkt dieses magische 1? Es kommt ständig vor und ich kann auch problemlos die Formel anwenden, nur weiss ich leider nicht wofür dieses 1 steht.

    Kannst du erklären?

    unten noch zwei Beispiele aus deiner Erklärung

    (1+i)n=(1+0,06)3=1,191016

    1(1+0,06)3=0,839619

    Herzlichen Dank!

    Antworten
    • Torben

      Hi Sandro,

      die 1 in der Formel sorgt dafür, dass die Zinsen auf den ursprünglichen Wert bereits draufgerechnet werden. Ohne die 1 würdest du lediglich die Höhe der Zinsen, aber nicht die Höhe deines Vermögens ermitteln. Ganz simples Beispiel: Wenn Du 100 € hast und 5 % Zinsen bekommst, kannst Du zwei Rechnungen vornehmen:
      1. Mit 0,05 * 100 = 5 € berechnest du, wie hoch Deine Zinsen sind.
      2. Mit (1 + 0,05) * 100 = 105 € berechnest du, wie hoch dein Vermögen ist, nachdem du die Zinsen erhalten hast.
      Für das Auf- und Abzinsen interessiert dich immer die zweite Version, da du dir die Entwicklung des Vermögens anschauen möchtest und nicht die separate Höhe der Zinsen.

      Viele Grüße
      Torben

      Antworten
  4. kata

    So gut erklärt!!! Bin total begeistert, es hört sich alles logisch an ;)

    Antworten
  5. Katrin

    Hallo, das ist wirklich gut erklärt und funktioniert beim “Sparen” total logisch…
    In der IHK-Prüfung geht es aber meist um Verbindlichkeiten und da ist es eher “anders herum”, oder?
    Ich zinse ab, wenn ich eine Rate erst in drei Jahren zahle….Mein Knoten will einfach nicht platzen…Hast du dafür auch eine nachvollziehbare Erklärung?
    Danke für Deine Hilfe! Freundliche Grüße katrin

    Antworten
    • Torben

      Hallo Katrin,

      die Logik dahinter ist grundsätzlich dieselbe. Wenn ich Deine Frage richtig verstanden habe, geht es dir um folgenden Fall: Ein Unternehmen vereinbart die Rückzahlung eines Kredits in gleichmäßigen Raten. Die Rate, die in 3 Jahren fällig ist, wird abgezinst, sodass sie “geringer” ist als die Rate, die heute fällig wird. Das meinst du doch, oder?

      Die Erklärung dafür: Wenn das Unternehmen in drei Jahren beispielsweise 30.000 Euro zurückzahlen muss, dann braucht es logischerweise zu diesem Zeitpunkt einen Geldbetrag in Höhe von 30.000 Euro. Dieser Betrag entspricht aber nicht 30.000 € in der Gegenwart, sondern nur einem geringeren Wert (abhängig vom Zinssatz, wir nehmen mal 5 % an). Schließlich hat das Unternehmen noch drei Jahre Zeit, um die 30.000 € zu erwirtschaften. Es reicht also aus, wenn es heute nur 25915,13 € (= 30.000 € um drei Jahre abgezinst) besitzt und dieses Geld zum Zinssatz von 5 % anlegt, dann sind daraus nach drei Jahren exakt 30.000 € geworden. Muss die Rate hingegen sofort bezahlt werden, ist keine Zeit zum Verzinsen vorhanden, sodass tatsächlich 30.000 € fällig sind.

      Zusammengefasst: Eine Schuld in drei Jahren ist aus heutiger Sicht geringer als eine Schuld, die sofort bezahlt werden muss. Daher werden die Raten stärker abgezinst, je weiter sie in der Zukunft liegen.

      Ich hoffe, das konnte Deinen Knoten lösen oder zumindest ein wenig lockern. ;-)

      Viele Grüße
      Torben

      Antworten
    • Bibi

      Warum wird beim Auf- und Abzinsen Inflation und Teuerung nicht berücksichtigt?
      Allenfalls könnte ich mit 5000 Euro heute mehr anfangen als mit 6000 Euro in drei Jahren. Vor allem wäre das der Fall bei hoch inflationären Währungen.
      Danke für die Antwort.

      Antworten
      • Torben

        Hallo Bibi,

        dein Einwand ist völlig richtig, dass auch die Inflation eine Rolle spielt. Die beschriebene Art der Berechnung stellt eine etwas vereinfachte Form dar, bei der ein fester Kalkulationszinssatz angenommen wird. Für die IHK-Weiterbildung genügt dieses Vorgehen.

        Viele Grüße
        Torben

  6. Benhamou

    Sehr gut erklärt.
    Danke

    Antworten

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